Question

5．在直角坐標(biāo)系xoy中，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=cosα\\ y=2sinα\end{array}\right.$（α為參數(shù)），M是C₁上的動點，N點滿足$\overrightarrow{ON}=2\overrightarrow{OM}$，N點的軌跡為曲線C₂．
（1）求曲線C₂的方程；
（2）以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極坐標(biāo)建立極坐標(biāo)系，曲線C₃的極坐標(biāo)方程是ρ=2，正三角形的頂點都在C₃上，且A，B，C依逆時針排列，點A的極坐標(biāo)為$（2，\frac{π}{6}）$，設(shè)P是C₂上任意一點，求|PA|²+|PB|²+|PC|²的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)N（x，y），M（x′，y′），由于$\overrightarrow{ON}=2\overrightarrow{OM}$，由$\left\{\begin{array}{l}{x=2{x}^{′}}\\{y=2{y}^{′}}\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{′}=\frac{1}{2}x}\\{{y}^{′}=\frac{1}{2}y}\end{array}\right.$代入曲線C₁的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{′}=cosα}\\{{y}^{′}=2sinα}\end{array}\right.$為參數(shù)），化簡整理即可得出；
（2）由曲線C₃的極坐標(biāo)方程是ρ=2，化為x²+y²=4，由題意可得：A，B，C三點的直角坐標(biāo)分別為$A（\sqrt{3}，1），B（-\sqrt{3}，1），C（0，-2）$，設(shè)P（2cosα，4sinα），利用兩點之間的距離即可得出．

解答 解：（1）設(shè)N（x，y），M（x′，y′），由于$\overrightarrow{ON}=2\overrightarrow{OM}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=2{x}^{′}}\\{y=2{y}^{′}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{′}=\frac{1}{2}x}\\{{y}^{′}=\frac{1}{2}y}\end{array}\right.$代入曲線C₁的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{′}=cosα}\\{{y}^{′}=2sinα}\end{array}\right.$為參數(shù)），可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}x=cosα}\\{\frac{1}{2}y=2sinα}\end{array}\right.$，
化為$\frac{{y}^{2}}{16}+$$\frac{{x}^{2}}{4}$=1．
（2）由曲線C₃的極坐標(biāo)方程是ρ=2，化為x²+y²=4，
A，B，C三點的直角坐標(biāo)分別為$A（\sqrt{3}，1），B（-\sqrt{3}，1），C（0，-2）$，
設(shè)P（2cosα，4sinα），
∴|PA|²+|PB|²+|PC|²=36sin²α+24．
∵sin²α∈[0，1]，
∴|PA|²+|PB|²+|PC|²的取值范圍是[24，60]．

點評 本題考查了橢圓的參數(shù)方程及其變換、圓的極坐標(biāo)方程、三角函數(shù)的單調(diào)性與值域兩點之間的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．