Question

如圖，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面邊長為22，側(cè)棱長為4.E,F分別為棱AB,BC的中點(diǎn)，EF∩BD=G.

（1）求證：平面BEF⊥平面BDD₁B₁；

（2）求點(diǎn)D₁到平面B₁EF的距離d；

（3）求三棱錐B₁-EFD₁的體積V.

Answer 1

思路分析：先建立直角坐標(biāo)系，再求出各點(diǎn)的坐標(biāo)，用向量法求解，證明即可.

解：（1）如圖，以D為原點(diǎn)，DA、DC、DD₁分別為x，y，z軸建立直角坐標(biāo)系，依題意，有

A(,0,0)，C(0,,0)，E(,,0)，F(xiàn)(,,0)，B₁(,,4)，D₁(0,0,4).

設(shè)平面B₁EF的法向量為n=(x，y，z)，

由n⊥,n⊥,=(0,,-4)，=（，,0)，

得∴x∶y∶z=1∶1∶()，n=（1，1，）.

又平面BDD₁B₁的法向量=(,0)，

∵n·=1×()+1×()+（）×0=0，

∴平面B₁EF⊥平面BDD₁B₁.

（2）∵=(,0)，∴平面B₁EF的法向量n=（1，1，）.

∴D₁到平面B₁EF的距離d=.

（3）∵=(0,,-4),=(,0 ,-4)，

∴cos〈，〉=.

∴sin〈，〉=.

∴S_△BEF=||·||sin〈，〉=×18×，

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