Question

已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，1），離心率等于．斜率為1的直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）問橢圓C的右焦點(diǎn)F是否可以為△BMN的重心？若可以，求出直線l的方程；若不可以，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意知b=1，，由此能夠?qū)С鰴E圓C的方程．
（2）假設(shè)橢圓C的右焦點(diǎn)F可以為△BMN的重心，設(shè)直線l方程為y=x+m，代入橢圓方程，消去y得
3x²+4mx+2m²-2=0，利用三角形的重心公式可求
解答：解：（1）設(shè)橢圓C的方程為 ，
則由題意知b=1．∴．
即 ．∴a²=2．
∴橢圓C的方程為 ；
（2）假設(shè)橢圓C的右焦點(diǎn)F可以為△BMN的重心，設(shè)直線l方程為y=x+m，代入橢圓方程，消去y得
3x²+4mx+2m²-2=0
由△=24-8m²＞0得m²＜3
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），∴
∵F（1，0），∴
∴
∴直線l方程為y=x-
點(diǎn)評：本題以橢圓的幾何性質(zhì)為載體，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，關(guān)鍵是聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求解．