Question

正三棱錐V—ABC的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為3，過底面AB邊的截面交側(cè)棱VC于P．

(1)若P為VC的中點(diǎn)，求截面PAB的面積；

(2)求截面PAB的面積的最大值．

 

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵四面體V—ABC為正三棱錐， ∴V在平面ABC上的射影O為△ABC的中心．連結(jié)OC并延長(zhǎng)CO交AB于D，連結(jié)DP，則有CD⊥AB．由VO⊥面ABC． ∴AB⊥面VOC，∴AB⊥DP． 在Rt△VOC中，可求OC=． cosPCO=OC∶VC=∶3=． 由P為VC的中點(diǎn)，根據(jù)余弦定理得 PD2=PC2＋CD2-2PC·CD·cosPCO =()2＋(·2)2-2··（·2）·cosPCO=． S△PAB=·AB·PD=． (2)由(1)知，VC上任一點(diǎn)P與AB的中點(diǎn)D的連線都是△APB的高，設(shè)PC=x(0<x<3)． ∴PD2=PC2＋CD2-2PC·CD·cosPCD =x2＋3-2·x··=x2-x＋3． ∴S△APB=AB·PD =≤． ∴(S△APB)max=． 點(diǎn)評(píng)：對(duì)正棱錐的問題，應(yīng)充分利用正棱錐的性質(zhì)．求截面ABP面積的最小值，也可直接求D到VC的距離，作△ABP的高DP，此時(shí)△ABP的面積最小．