Question

如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面是邊長為2的正方形，高為4．
（Ⅰ）求證：平面BDD₁B₁⊥平面B₁AC；
（Ⅱ）求直線AB₁與平面BDD₁B₁所成的角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,直線與平面所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由已知得BB₁⊥AC，AC⊥BD．由此AC⊥平面BDD₁B₁．從而能力證明平面BDD₁B₁⊥平面B₁AC．
（Ⅱ）設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，連結(jié)B₁O．由已知得∠AB₁O為AB₁與平面BDD₁A₁所成的角．由此能求出直線AB₁與平面BDD₁A₁所成的角的正弦值．

解答： 解：（Ⅰ）∵BB₁⊥平面ABCD，∴BB₁⊥AC．
又底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD．
∵BD∩BB₁=B，BD?平面BDD₁B₁，BB₁?平面BDD₁B₁，
∴AC⊥平面BDD₁B₁．
∵AC?平面B₁AC，
∴平面BDD₁B₁⊥平面B₁AC．…（6分）
（Ⅱ）設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，連結(jié)B₁O．
由（Ⅰ）知AC⊥平面BDD₁B₁，
∴B₁O為斜線AB₁在平面BDD₁B₁內(nèi)的射影，
∴∠AB₁O為AB₁與平面BDD₁A₁所成的角．
在底面正方形ABCD中，求得AO=

2

，
在側(cè)面矩形ABB₁A₁中，求得AB1=

20

=2

5

．
在Rt△AB₁O中，求得sin∠AB1O=

2

2 5

=

10

10

．
∴直線AB₁與平面BDD₁A₁所成的角的正弦值為

10

10

．…（13分）

點(diǎn)評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．