Question

16．若AB是橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞c）垂直于x軸的動弦，F(xiàn)為焦點，當(dāng)AB經(jīng)過焦點F時|AB|=3，當(dāng)AB最長時，∠AFB=120°．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知N（4，0），連接AN與橢圓相交于點M，證明直線BM恒過x軸定點．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2^{2}}{a}=3}\\{\frac{a}=sin60°}\end{array}\right.$計算即得結(jié)論；
（Ⅱ）通過設(shè)BM直線方程并與橢圓方程聯(lián)立，利用A、N、M三點共線，通過韋達(dá)定理代入計算、整理即得結(jié)論．

解答 （Ⅰ）解：由題可知$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2^{2}}{a}=3}\\{\frac{a}=sin60°}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）證明：設(shè)B（x₁，y₁），M（x₂，y₂），定點（x₀，0），
則A（x₁，-y₁），BM直線方程為：y=k（x-x₀），
聯(lián)立BM與橢圓C的方程，消去y得：
（3+4k²）²x²-8k²x₀x+4k²${{x}_{0}}^{2}$-12=0，
∴x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}{x}_{0}}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}{{x}_{0}}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
∴$\overrightarrow{AN}$=（4-x₁，y₁），$\overrightarrow{MN}$=（4-x₂，-y₂），
∵A、N、M三點共線，
∴y₂（4-x₁）+y₁（4-x₂）=0，
∴4（y₁+y₂）-x₁y₂-x₂y₁=0，
∴4k（x₁+x₂-2x₀）-2kx₁x₂+kx₀（x₁+x₂）=0，
∴4（$\frac{8{k}^{2}{x}_{0}}{3+4{k}^{2}}$-2x₀）-2$\frac{4{k}^{2}{{x}_{0}}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$+x₀$\frac{8{k}^{2}{x}_{0}}{3+4{k}^{2}}$=0，
整理得：32k²-32k²x₀-8k²${{x}_{0}}^{2}$+8k²x₀=0，
即（1-x₀）（x₀+4）=0，
解得：x₀=1或x₀=-4（舍），
∴直線BM恒過x軸定點（1，0）．

點評 本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，考查橢圓方程，考查直線過定點問題，注意解題方法的積累，屬于中檔題．