Question

函數(shù)f（x）、g（x）的圖象在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷，且f′（x）•g（x）＞f（x）•g′（x），g（x）＞0，則對任意的x∈（a，b）都有（　　）

• A、f（x）•g（x）＞f（a）•g（b）
• B、f（x）•g（a）＞f（a）•g（x）
• C、f（x）•g（x）＞f（b）•g（b）
• D、f（x）•g（b）＞f（b）•g（x）

Answer 1

考點：導數(shù)的運算,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導數(shù)的概念及應用

分析：根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)h（x）=

f(x)

g(x)

，求出h（x）的導數(shù)，由條件判斷出h′（x）的符號，得到函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，由單調(diào)性的定義和選項列出不等式，再化簡即可．

解答： 解：由題意設(shè)h（x）=

f(x)

g(x)

，g（x）＞0，所以h′(x)=

f′(x)g(x)-f(x)g′(x)

g2(x)

）在，
因為f′（x）•g（x）＞f（x）•g′（x），所以h′(x)=

f′(x)g(x)-f(x)g′(x)

g2(x)

＞0，
則函數(shù)h（x）在[a，b]上單調(diào)遞增，
因為b＞a，所以h（b）＞h（x）或h（x）＞h（a），即

f(b)

g(b)

＞

f(x)

g(x)

或

f(x)

g(x)

＞

f(a)

g(a)

，
所以f（b）•g（x）＞f（x）•g（b）或f（x）•g（a）＞f（a）•g（x），
故選：B．

點評：本題考查導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，函數(shù)單調(diào)性的定義的應用，考查構(gòu)造函數(shù)法，構(gòu)造恰當?shù)暮瘮?shù)是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．