Question

14．在直角坐標(biāo)系中，定義兩點(diǎn)P（x₁，y₁）與Q（x₂，y₂）之間的“直角距離”為d（P，Q）=|x₁-x₂|+
|y₁-y₂|，現(xiàn)給出四個(gè)命題：
（1）已知P（1，3），Q（sin²α，cos²α）（α∈R），則d（P，Q）為定值；
（2）已知P，Q，R三點(diǎn)不共線，則必有d（P，Q）+d（Q，R）＞d（P，R）；
（3）用|PQ|表示P，Q兩點(diǎn)間的距離，那么|PQ|≥$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$d（P，Q）；
（4）若P，Q是橢圓$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}$=1上的任意兩點(diǎn)，則d（P，Q）的最大值是2$\sqrt{13}$．
在以上命題中，你認(rèn)為正確的命題有①③④．（只填寫所有正確的命題的序號）

Answer 1

分析 先根據(jù)直角距離的定義分別表示出所求的問題的表達(dá)式，然后根據(jù)集合中絕對值的性質(zhì)進(jìn)行判定即可．

解答 解：①已知P（1，3），Q（sin²α，cos²α）（α∈R），則d（P，Q）=|1-sin^2α|+|3-cos²α|=cos²α+2+sin²α=3為定值，正確；
②設(shè)P（x，y），O（0，0），則d（0，P）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|=|x|+|y|=|x|+|x+1|，表示數(shù)軸上的x到1和0的距離之和，其最小值為1，故不正確；
③若|PQ|表示P、Q兩點(diǎn)間的距離，那么|PQ|=$\sqrt{{（x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+{（y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$，d（P，Q）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|，因?yàn)?（a²+b²）≥（a+b）²，所以|PQ|≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$d（P，Q），正確；
④過P（1，3）與Q（5，7）的直線方程為y=x+2，點(diǎn)A到點(diǎn)P與Q的“直角距離”之和等于8，則|x-1|+|y-3|+|x-5|+|y-7|=2|x-1|+2|x-5|=8，所以|x-1|+|x-5|=4，所以1≤x≤5，
因?yàn)閤∈Z，所以x=1，2，3，4，5，所以滿足條件的點(diǎn)A只有5個(gè)，正確．
故答案為：①③④．

點(diǎn)評 本題考查兩點(diǎn)之間的“直角距離”的定義，絕對值的意義，關(guān)鍵是明確P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）兩點(diǎn)之間的“直角距離”的含義．