Question

7．已知命題p：“在△ABC中，若$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$，則|$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{BC}$|”，則在命題p的逆命題、否命題、逆否命題中，真命題的個數是（　�。�

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 分別寫出命題p的逆命題、否命題和逆否命題，再判定它們的真假性．

解答 解：命題p中，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$，
∴|$\overrightarrow{AB}$|×|$\overrightarrow{AC}$|cos∠CAB=|$\overrightarrow{BA}$|×|$\overrightarrow{BC}$|cos∠CBA，
∴|$\overrightarrow{AC}$|cos∠CAB=|$\overrightarrow{BC}$|cos∠CBA，即點C在底邊AB上的射影是底邊AB的中點，
∴|$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{BC}$|，p是真命題；
則命題p的逆命題是：“在△ABC中，若|$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{BC}$|，則$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$”，它是真命題；
∵|$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{BC}$|，∴|$\overrightarrow{AC}$|cos∠CAB=|$\overrightarrow{BC}$|cos∠CBA，
∴|$\overrightarrow{AB}$|×|$\overrightarrow{AC}$|cos∠CAB=|$\overrightarrow{BA}$|×|$\overrightarrow{BC}$|cos∠CBA，
即$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$，命題正確；
命題p的否命題是：“在△ABC中，若$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$≠$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$，則|$\overrightarrow{AC}$|≠|$\overrightarrow{BC}$|”，它是真命題；
命題p的逆否命題是：“在△ABC中，若|$\overrightarrow{AC}$|≠|$\overrightarrow{BC}$|，則$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$≠$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$”，它是真命題．
綜上，命題p的逆命題、否命題、逆否命題中，真命題有3個．
故選：D．

點評 本題考查了四種命題之間的關系與應用問題，也考查了平面向量的數量積的應用問題，是綜合性題目．