Question

4．已知函數(shù)f（x）=|2x+1|-|x-a|，g（x）=3x-2．
（1）當a=2時，求不等式f（x）＞g（x）的解集；
（2）設(shè)a＜-$\frac{1}{2}$，存在x∈[a，-$\frac{1}{2}$]使f（x）≥g（x）成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）不等式即|2x+1|-|x-2|＞3x-2，把它轉(zhuǎn)化為與之等價的三個不等式組，求出每個不等式組的解集，再取并集，即得所求．
（2）由題意數(shù)形結(jié)合可得f（x）在[a，-$\frac{1}{2}$]上的最大值f（a），再根據(jù)f（a）≥g（a），求得a的范圍．

解答 解：（1）當a=2時，不等式f（x）＞g（x），即|2x+1|-|x-2|＞3x-2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＜-\frac{1}{2}}\\{-2x-1-（2-x）＞3x-2}\end{array}\right.$ ①，或$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}≤x＜2}\\{2x+1-（2-x）＞3x-2}\end{array}\right.$②，或 $\left\{\begin{array}{l}{x≥2}\\{2x+1-（x-2）＞3x-2}\end{array}\right.$ ③．
解求得x＜-$\frac{1}{2}$，解求得-$\frac{1}{2}$≤x＜2，解求得2≤x＜$\frac{5}{2}$．
綜上可得，不等式f（x）＞g（x）的解集為 {x|x＜$\frac{5}{2}$}．
（2）設(shè)a＜-$\frac{1}{2}$，存在x∈[a，-$\frac{1}{2}$]使f（x）≥g（x）成立，
畫出函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x-a-1，x＜a}\\{-3x-1+a，a≤x＜-\frac{1}{2}}\\{x+1+a，x≥-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$、g（x）=3x-2的圖象，
如圖所示，
故f（x）在[a，-$\frac{1}{2}$]上的最大值f（a），
由題意可得f（a）≥g（a），即-2a-1≥3a-2，求得a≤$\frac{1}{5}$．

點評 本題主要考查帶有與絕對值的函數(shù)，絕對值不等式的解法，函數(shù)的能成立問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．