Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax+cosx，x∈[0，π]．
（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）設(shè)f（x）≤1+sinx，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，可得f'（x）=a-sinx，x∈[0．π]，sinx∈[0，1]，對(duì)a進(jìn)行分類討論，即可確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）由f（x）≤1+sinx得f（π）≤1，aπ-1≤1，可得a≤

2

π

，構(gòu)造函數(shù)g（x）=sinx-

2

π

x（0≤x≤

π

2

），可得g（x）≥0（0≤x≤

π

2

），再考慮：①0≤x≤

π

2

；②

π

2

≤x≤π，即可得到結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，可得f'（x）=a-sinx，x∈[0，π]，sinx∈[0，1]；
當(dāng)a≤0時(shí)，f'（x）≤0恒成立，f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)a≥1 時(shí)，f'（x）≥0恒成立，f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，由f'（x）=0得x₁=arcsina，x₂=π-arcsina
當(dāng)x∈[0，x₁]時(shí)，sinx＜a，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增
當(dāng)x∈[x₁，x₂]時(shí)，sinx＞a，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減
當(dāng)x∈[x₂，π]時(shí)，sinx＜a，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增
當(dāng)x∈[0，arcsina]時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)x∈[arcsina，π]時(shí)，單調(diào)遞減；
（Ⅱ）由f（x）≤1+sinx得f（π）≤1，aπ-1≤1，∴a≤

2

π

．
令g（x）=sinx-

2

π

x（0≤x≤

π

2

），則g′（x）=cosx-

2

π

當(dāng)x∈(0，arccos

2

π

)時(shí)，g′（x）＞0，當(dāng)x∈(arccos

2

π

，

π

2

)時(shí)，g′（x）＜0
∵g(0)=g(

π

2

)=0，∴g（x）≥0，即

2

π

x≤sinx（0≤x≤

π

2

），
當(dāng)a≤

2

π

時(shí)，有f(x)≤

2

π

x+cosx
①當(dāng)0≤x≤

π

2

時(shí)，

2

π

x≤sinx，cosx≤1，所以f（x）≤1+sinx；
②當(dāng)

π

2

≤x≤π時(shí)，f(x)≤

2

π

x+cosx=1+

2

π

(x-

π

2

)-sin(x-

π

2

)≤1+sinx
綜上，a≤

2

π

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是正確求導(dǎo)，確定函數(shù)的單調(diào)性．