Question

7．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D、E分別是AB、AA₁的中點，AA₁⊥平面ABC，AB⊥AC，AA₁=4，AB=AC=2，且$\overrightarrow{{A}_{1}F}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$．
（1）證明：B₁D∥平面CEF；
（2）求異面直線CE與C₁D所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取A₁B₁的中點G，連結(jié)AG，推導出四邊形ADB₁G為平行四邊形，由此能證明B₁D∥平面CEF．
（2）分別以AC、AB、AA₁為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出異面直線CE與C₁D所成角的余弦值．

解答 證明：（1）取A₁B₁的中點G，連結(jié)AG，
∵$\overrightarrow{{A}_{1}F}=\frac{1}{4}\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$，∴F為A₁A的中點，又E為AA₁中點，∴EF∥AG，
∵A₁B₁$\underset{∥}{=}$AB，D為AB中點，∴$AD\underset{∥}{=}{B}_{1}G$，
∴四邊形ADB₁G為平行四邊形，
∴AG∥B₁D，∴EF∥B₁D，又EF?平面CEF，B₁D?平面CEF，
∴B₁D∥平面CEF．
解：（2）分別以AC、AB、AA₁為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，
則C₁（2，0，4），C（2，0，0），D（0，1，0），E（0，0，2），
∴$\overrightarrow{{C}_{1}D}$=（-2，1，-4），$\overrightarrow{CE}$=（-2，0，2），
∴cos＜$\overrightarrow{{C}_{1}D}$，$\overrightarrow{CE}$＞=$\frac{\overrightarrow{{C}_{1}D}•\overrightarrow{CE}}{|\overrightarrow{{C}_{1}D}||\overrightarrow{CE}|}$=$\frac{4-8}{\sqrt{21}×2\sqrt{2}}$=-$\frac{\sqrt{42}}{21}$，
∴異面直線CE與C₁D所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{42}}{21}$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查異面直線所成角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．