Question

直線l過拋物線y²=2px(p＞0)的焦點(diǎn)，且與拋物線相交于A（x₁,y₁）和B（x₂,y₂）.

(1)求證：x₁x₂=,y₁y₂=-p²;

(2)若l的傾斜角為α，求證：|AB|=.

Answer 1

分析：設(shè)出直線方程，利用韋達(dá)定理解決.

證明：（1）若l的斜率存在，設(shè)l：y=k(x-)(k≠0)代入y²=2px,消去y整理得k²x²-(k²p+2p)x+=0，由韋達(dá)定理得x₁x₂=.

∵y₁²=2px₁,y₂²=2px₂,∴y₁²y₂²=4p²x₁x₂=p⁴,

∵y₁y₂＜0,∴y₁y₂=-p².

若l斜率不存在，x₁=x₂=,此時(shí)x₁x₂=,y₁y₂=-p²，結(jié)論也成立.

∴x₁x₂=,y₁y₂=-p².

（2）若l斜率存在，由（1）知x₁+x₂=.

∴|AB|=|AF|+|FB|=x₁-(-)+x₂-(-)=x₁+x₂+p=

.

若l斜率不存在，α=時(shí)，|AB|=2p，結(jié)論也成立.∴|AB|=.

點(diǎn)撥：涉及直線與拋物線相交問題在求解時(shí)應(yīng)特別注意直線斜率不存在的情況，要記住過焦點(diǎn)的弦中有x₁x₂，y₁y₂為定值，弦長(zhǎng)大于或等于2p.