Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

x²+lnx
（1）求函數(shù)f（x）在[1，e]上的最大值，最小值；
（2）求證：在區(qū)間[1，+∞）上，函數(shù)f（x）的圖象在函數(shù)g（x）=

2

3

x³圖象的下方．

Answer 1

（1）由f（x）=

1

2

x²+lnx有f′（x）=x+

1

x

（2分）
當x∈[1，0]時，f′（x）＞0
∴f_max（x）=f（e）=

1

2

e²+1，
f_max（x）=f（1）=

1

2

（6分）
（2）設F（x）=

1

2

x²+lnx-

2

3

x³，
則F′（x）=x+

1

x

-2x²=

(1-x)(1+x+2x 2)

x

當x∈[1，+∞）時，F(xiàn)′（x）＜0，
且F（1）=-

1

6

＜0故x∈[1，+∞）時F（x）＜0
∴

1

2

x²+lnx＜

2

3

x³，得證（12分）