Question

數(shù)列{a_n}中,a₁=1,a₂=6,a_n+2=a_n+1-a_n,求a_{2 005}.

   

Answer 1

思路分析:本題主要考查通過(guò)數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的前幾項(xiàng)及數(shù)列的性質(zhì).本題若通過(guò)遞推式求出前幾項(xiàng),很難歸納出通項(xiàng)公式.可以多求出前面具體的某些項(xiàng),看一看數(shù)列的項(xiàng)與項(xiàng)之間的內(nèi)在關(guān)系.

    解:∵a₁=1,a₂=6,a₃=5,a₄=-1,a₅=-6,a₆=-5,a₇=1,a₈=6,a₉=5,a₁₀=-1,a₁₁=-6,a₁₂=-5,

    猜想{a_n}是以6為周期的周期數(shù)列(即相同的6項(xiàng)循環(huán)地出現(xiàn)的數(shù)列).

    事實(shí)上,a_n+2=a_n+1-a_n=a_n-a_n-1-a_n=-a_n-1,

∴a_n+3=-a_n.

∴a_n+6=-a_n+3=a_n,

    即{a_n}是以6為周期的周期數(shù)列.

∴a_{2 005}=a_6×334+1=a₁=1.