Question

已知函數(shù)f（x）=-ax（x＞0且x≠1）．
（1）若函數(shù)f（x）在（1，+∞）上為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的最小值；
（2）若?x₁，x₂∈[e，e²]，使f（x₁）≤f'（x₂）+a成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）f（x）在（1，+∞）上為減函數(shù)，等價(jià)于f′（x）≤0在（1，+∞）上恒成立，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為f′（x）_max≤0，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得f′（x）_max；
（2）命題“若?x₁，x₂∈[e，e²]，使f（x₁）≤f'（x₂）+a成立”等價(jià)于“當(dāng)x∈[e，e²]時(shí)，有f（x）_min≤f′（x）_max+a”，由（1）易求f′（x）_max+a，從而問題等價(jià)于“當(dāng)x∈[e，e²]時(shí)，有f（x）_min”，分①a，②a＜兩種情況討論：當(dāng)a時(shí)易求f（x）_min，當(dāng)a＜時(shí)可求得f′（x）的值域?yàn)閇-a，]，再按（i）-a≥0，（ii）-a＜0兩種情況討論即可；
解答：解：（1）因f（x）在（1，+∞）上為減函數(shù)，
故f′（x）=-a≤0在（1，+∞）上恒成立，
又f′（x）=-a=-+-a=-，
故當(dāng)，即x=e²時(shí)，，
所以0，于是a，故a的最小值為．
（2）命題“若?x₁，x₂∈[e，e²]，使f（x₁）≤f'（x₂）+a成立”等價(jià)于“當(dāng)x∈[e，e²]時(shí)，有f（x）_min≤f′（x）_max+a”，
由（1），當(dāng)x∈[e，e²]時(shí)，f′（x）_max=，所以f′（x）_max+a=，問題等價(jià)于：“當(dāng)x∈[e，e²]時(shí)，有f（x）_min”，
①當(dāng)a時(shí)，由（1），f（x）在[e，e²]上為減函數(shù)，
則f（x）_min=f（e²）=，故a，；
②當(dāng)a＜時(shí)，由于在[e，e²]上為增函數(shù)，
故f′（x）的值域?yàn)閇f′（e），f′（e²）]，即[-a，]．
（i）若-a≥0，即a≤0，f′（x）≥0在[e，e²]上恒成立，故f（x）在[e，e²]上為增函數(shù)，
于是，f（x）_min=f（e）=e-ae≥e＞，不合題意；
（ii）若-a＜0，即0＜a＜，由f′（x）的單調(diào)性和值域知，?唯一，使f′（x）=0，
且滿足：當(dāng)x∈（e，x）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；當(dāng)x時(shí)，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)；
所以，，，
所以a-＞，與0＜a＜矛盾，不合題意；
綜上，得a．
點(diǎn)評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、閉區(qū)間上函數(shù)的最值，考查恒成立問題，考查分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力．