Question

15．如圖直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠BAD=90°，AA₁=AB=2CD=4，AD=2，E、F、G分別是側(cè)棱BB₁、C₁C、DD₁上的點(diǎn)，BE=2，DG=3．
（Ⅰ）若CF=2，求證：A₁，E，F(xiàn)，G四點(diǎn)共面；
（Ⅱ）若面EFG與面A₁ADD₁所成二面角（銳角）的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{6}$，求CF長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若CF=2，建立空間坐標(biāo)系，利用空間向量的基本定理即可證明A₁，E，F(xiàn)，G四點(diǎn)共面；
（Ⅱ）設(shè)CF=a，求出平面的法向量，利用向量法建立方程即可得到結(jié)論．

解答 解：∵直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠BAD=90°，
∴以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AA₁，為x，y，z軸，建立空間坐標(biāo)系如圖：
∵AA₁=AB=2CD=4，AD=2，E、F、G分別是側(cè)棱BB₁、C₁C、DD₁上的點(diǎn)，BE=2，DG=3．
∴A（0，0，0），B（4，0，0），D（0，2，0），C（2，2，0），E（4，0，2），G（0，2，3），A₁（0，0，4），
（Ⅰ）若CF=2，則F（2，2，2），
則$\overrightarrow{{A}_{1}F}$=（2，2，-2），$\overrightarrow{{A}_{1}E}$=（4，0，-2），$\overrightarrow{{A}_{1}G}$=（0，2，-1），
∵$\overrightarrow{{A}_{1}F}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{{A}_{1}E}$+$\overrightarrow{{A}_{1}G}$，
∴A₁，E，F(xiàn)，G四點(diǎn)共面
（Ⅱ）設(shè)CF=a，則F（2，2，a），0≤a≤3，
則$\overrightarrow{EF}$=（-2，2，a-2），$\overrightarrow{EG}$=（-4，2，1），
則平面A₁ADD₁的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{n}$=（1，0，0），
設(shè)$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）為面EFG的一個(gè)法向量，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EF}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EG}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{-2x+2y+（a-2）z=0}\\{-4x+2y+z=0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{2x+（a-3）z=0}\\{-4x+2y+z=0}\end{array}\right.$
令z=1，則x=$\frac{3-a}{3}$，y=$\frac{9-4a}{6}$，
則$\overrightarrow{m}$=（$\frac{3-a}{3}$，$\frac{9-4a}{6}$，1），
∵面EFG與面A₁ADD₁所成二面角（銳角）的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
∴|cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$|=$\frac{|\frac{3-a}{3}|}{\sqrt{（\frac{3-a}{3}）^{2}+（\frac{9-4a}{6}）^{2}+1}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
平方整理得4a²-48a+63=0，解得a=$\frac{3}{2}$或a=$\frac{21}{2}$（舍），
即CF的長(zhǎng)度為$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查空間四點(diǎn)共面的證明空間角的計(jì)算，涉及二面角的平面角，利用向量法是解決空間角常用的方法，考查的知識(shí)面較廣，難度中等．