Question

3．定義在R上的函數f（x）滿足（x-1）f′（x）≤0，且f（-x）=f（2+x），當|x₁-1|＜|x₂-1|時，有（　　）

• A． f（2-x₁）≥f（2-x₂）
• B． f（2-x₁）=f（2-x₂）
• C． f（2-x₁）＞f（2-x₂）
• D． f（2-x₁）≤f（2-x₂）

Answer 1

分析 ①若函數f（x）為常數，可得當|x₁-1|＜|x₂-1|時，恒有f（2-x₁）=f（2-x₂）．②若f（x）不是常數，可得y=f（x）關于x=1對稱．當x₁≥1，x₂≥1，則由|x₁-1|＜|x₂-1|，可得f（x₁）＞f（x₂）．當x₁＜1，x₂＜1時，同理可得f（x₁）＞f（x₂）．綜合①②得出結論．

解答 解：①若f（x）=c，則f'（x）=0，此時（x-1）f'（x）≤0和y=f（x+1）為偶函數都成立，
此時當|x₁-1|＜|x₂-1|時，恒有f（2-x₁）=f（2-x₂）．
②若f（x）不是常數，因為函數y=f（x+1）為偶函數，所以y=f（x+1）=f（-x+1），
即函數y=f（x）關于x=1對稱，所以f（2-x₁）=f（x₁），f（2-x₂）=f（x₂）．
當x＞1時，f'（x）≤0，此時函數y=f（x）單調遞減，當x＜1時，f'（x）≥0，此時函數y=f（x）單調遞增．
若x₁≥1，x₂≥1，則由|x₁-1|＜|x₂-1|，得x₁-1＜x₂-1，即1≤x₁＜x₂，所以f（x₁）＞f（x₂）．
同理若x₁＜1，x₂＜1，由|x₁-1|＜|x₂-1|，得-（x₁-1）＜-（x₂-1），即x₂＜x₁＜1，所以f（x₁）＞f（x₂）．
若x₁，x₂中一個大于1，一個小于1，不妨設x₁＜1，x₂≥1，則-（x₁-1）＜x₂-1，
可得1＜2-x₁＜x₂，所以f（2-x₁）＞f（x₂），即f（x₁）＞f（x₂）．
綜上有f（x₁）＞f（x₂），即f（2-x₁）＞f（2-x₂），
故選A．

點評 本題主要考查函數的導數與函數的單調性的關系，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題