Question

已知z₁、z₂是非零復數(shù),且|z₁+z₂|=|z₁-z₂|,求證:.

Answer 1

分析：只要證明為純虛數(shù)即可.

證法一：設復數(shù)z₁=a+bi,z₂=c+di(a、b、c、d∈R),?

由|z₁+z₂|=|z₁-z₂|,?

得(a-c)²+(b-d)²=(a+c)²+(b+d)²,?

整理得ac+bd=0,?

而［(ac+bd)+(bc-ad)i］,?

由ac+bd=0,得為純虛數(shù)得證.

證法二：設=a+bi(a、b∈R),?

則z₁=z₂(a+bi),∴|z₁+z₂|=|z₂||(1+a)+bi|,?

|z₁-z₂|=|z₂||(1-a)+bi|,?

代入|z₁+z₂|=|z₁-z₂|,得?

(1+a)²=(1-a)²,?

∴a=0.∴為純虛數(shù).

證法三：由|z₁+z₂|²=|z₁-z₂|²,?

得(z₁+z₂)()=(z₁-z₂)(),?

∴z₁+z₂=-z₁-z₂,?

得z₁=-z₂,?

∴且≠0.∴為純虛數(shù).

證法四：由|z₁+z₂|=|z₁-z₂|得| +1|=| -1|,?

由幾何意義知對應的復數(shù)在虛軸上,?

∴為純虛數(shù).

證法五：設z₁、z₂、z₁+z₂在復平面對應的點分別為Z₁、Z₂、Z₃,則四邊形OZ₁Z₂Z₃為平行四邊形,?

再由|z₁+z₂|=|z₁-z₂|知平行四邊形為矩形.?

∴OZ₁⊥OZ₂.∴=ki(k∈R且k≠0).∴為純虛數(shù).