Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)軸正方向上一點(diǎn)任作一直線(xiàn)，與拋物線(xiàn)相交于兩點(diǎn)．一條垂直于軸的直線(xiàn)，分別與線(xiàn)段和直線(xiàn)交于點(diǎn)．
（1）若,求的值；
（2）若為線(xiàn)段的中點(diǎn)，求證：為此拋物線(xiàn)的切線(xiàn)；
（3）試問(wèn)（2）的逆命題是否成立？說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）設(shè)直線(xiàn)的方程為，
將該方程代入得．
令，，則．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823183048784729.gif" style="vertical-align:middle;" />，解得，
或（舍去）．故．
（2）由題意知，直線(xiàn)的斜率為．
又的導(dǎo)數(shù)為，所以點(diǎn)處切線(xiàn)的斜率為，
因此，為該拋物線(xiàn)的切線(xiàn)．
（3）（2）的逆命題成立，證明如下：
設(shè)．
若為該拋物線(xiàn)的切線(xiàn)，則，
又直線(xiàn)的斜率為，所以，
得，因，有．
故點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，即點(diǎn)是線(xiàn)段的中點(diǎn)． 

略