Question

平面內(nèi)有n個圓,其中每兩個圓都相交于兩點,并且每三個圓都不相交于同一點,求證:n個圓把平面分成f(n)=n²-n+2個部分.

Answer 1

分析：本題的關(guān)鍵在于如何應(yīng)用歸納假設(shè)及已知條件分析當(dāng)n=k+1時,第k+1個圓與其他k個圓的交點個數(shù),做到有目的的變形.

證明: (1)當(dāng)n=1時,一個圓把平面分成兩部分,又1²-1+2=2,故命題成立.

(2)假設(shè)n=k(k∈N*)時,命題成立,即滿足題設(shè)條件的k個圓把平面分成f(k)=k²-k+2個部分.2分

那么當(dāng)n=k+1時,設(shè)第k+1個圓為⊙O,由題意,它與k個圓中每個圓交于兩點,又無三個圓交于同一點,于是它與其他k個圓交于2k個點,這些點把⊙O分成2k條弧,即f(k+1)=f(k)+2k=k²-k+2+2k=(k+1)²-(k+1)+2.

這就是說,當(dāng)n=k+1時,命題也成立.

綜上可知,對一切n∈N*,命題都成立.