Question

一自來水廠擬建一座平面圖形為矩形、面積為200平方米的凈水處理池，該池的深度為1米，池的四周內(nèi)壁建造單價(jià)為每平方米400元，池底建造單價(jià)為每平方米60元，在該水池長邊的正中間設(shè)置一個(gè)隔層，將水池分成左右兩個(gè)小水池，該隔層建造單價(jià)為每平方米100元，池壁厚度忽略不計(jì)．
（1）凈水池的長度設(shè)計(jì)為多少米時(shí)，可使總造價(jià)最低？
（2）如長寬都不能超過14.5米，那么此凈水池的長為多少時(shí)，可使總造價(jià)最低？

Answer 1

【答案】分析：（1）凈水池的底面積一定，長為x米，則寬可表示出來，從而得出總造價(jià)f（x），利用基本不等式求出最小值；
（2）由長和寬的限制條件，得自變量x的范圍，判斷總造價(jià)函數(shù)f（x）在x的取值范圍內(nèi)的函數(shù)值變化情況，求得最小值．
解答：解：（1）設(shè)水池的長為x米，則寬為米．…（1分）
總造價(jià)：=…（4分）=36000…（6分）
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
故當(dāng)凈水池的長為15米時(shí)，總造價(jià)最低．…（7分）
（2）由已知，長不能超過14.5米，而15＞14.5，故長度值取不到15，從而不能利用基本不等式求最值，轉(zhuǎn)而考慮利用函數(shù)的單調(diào)性．
考慮條件，…（8分）
設(shè)，利用函數(shù)單調(diào)性，
易知上為減函數(shù)，…（11分）
因此，當(dāng)時(shí)，y_min=36013.8元，故當(dāng)x=14.5米時(shí)，總造價(jià)最低．…（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查了建立函數(shù)解析式，利用基本不等式求函數(shù)最值的能力，還考查了函數(shù)的單調(diào)性和運(yùn)算能力．