Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）如果對于任意的，都有，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）

【解析】

試題分析：（1）先求導(dǎo)，根據(jù)可得的值。將的值代入導(dǎo)數(shù)解析式并將導(dǎo)數(shù)變形分解因式，討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，導(dǎo)數(shù)大于0得增區(qū)間，導(dǎo)數(shù)小于0得減區(qū)間。（2）將變形為（注意所以不等式兩邊同除以時不等號應(yīng)改變）。設(shè).將問題轉(zhuǎn)化為時恒成立問題，即。將函數(shù)求導(dǎo)，分析討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，從而判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求其最值。

解：（1） 因為， 1分

因為，

所以. 2分

所以.

令，解得. 3分

隨著的變化，和的變化情況如下：

即在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增. 6分

（2） 因為對于任意的，都有，

即，

所以. 8分

設(shè).

因為， 9分

又因為，

所以. 10分

所以.

所以在上單調(diào)遞增. 11分

所以. 12分

即. 13分