Question

在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對的邊分別是a、b、c，且c=10，cosA∶cosB=b∶a=4∶3，P為△ABC的內(nèi)切圓上的動點，求點P到頂點A、B、C的距離的平方和的最大值與最小值.

Answer 1

解析:本題與三角函數(shù)有一定的聯(lián)系,題目出現(xiàn)在這里,也是對于前面所學(xué)知識的復(fù)習(xí),也和曲線的參數(shù)方程聯(lián)系起來了,由此也可以看出數(shù)學(xué)知識間的聯(lián)系,具有一定程度的綜合性.

解:由cosA∶cosB=b∶a,得sin2A=sin2B,因為a≠b,A≠B,所以2A=π-2B,即A+B=.由此可知△ABC為直角三角形.又c=10,b∶a=4∶3,a²+b²=c²,可得a=6,b=8.故其內(nèi)切圓半徑為r==2.以頂點C為原點、CA所在直線為x軸（其中點A處于x軸正半軸上,點B位于縱軸的正半軸上）,則CB的相應(yīng)內(nèi)切圓的參數(shù)方程為則該圓上的動點P的坐標(biāo)為(2+2cosθ,2+2sinθ),PA²+PB²+PC²=(2cosθ-6)²+(2+2sinθ)²+(2+2cosθ)²+(2sinθ-4)²+(2+2cosθ)²+(2+2sinθ)²=80-8cosθ,故所求的最大值與最小值分別為88、72.