Question

已知函數(shù)f（x）=

3

sin2x+cos2x+a
（1）求函數(shù)f（x）的最小值及單調(diào)減區(qū)間；
（2）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，且f（A）=3，a=1，bc=2

3

，且c＞b，求b，c的值．

Answer 1

分析：（1）f（x）解析式提取2變形后，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的值域確定出最小值，根據(jù)正弦函數(shù)的遞減區(qū)間即可確定出f（x）的減區(qū)間；
（2）由f（A）=3，求出sin（2A+

π

6

）=1，利用特殊角的三角函數(shù)值求出A的度數(shù)，利用余弦定理表示出cosA，將a，cosA的值代入得到關(guān)于b與c的關(guān)系式，與已知b與c的關(guān)系式聯(lián)立即可求出b與c的值．

解答：解：（1）f（x）=2（

3

2

sin2x+

1

2

cos2x）+1=2sin（2x+

π

6

）+1，
∵-1≤sin（2x+

π

6

）≤1，
∴函數(shù)f（x）的最小值為2×（-1）+1=-2+1=-1，
由2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

（k∈Z）得：kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

，k∈Z；
則f（x）的單調(diào)減區(qū)間為[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]，k∈Z；
（2）f（A）=sin（2A+

π

6

）+1=3，
即sin（2A+

π

6

）=1，
∵A為三角形的內(nèi)角
2A+

π

6

=

π

2

，即A=

π

6

，
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

3

2

，
即b²+c²=7，
將bc=2

3

代入可得：c²+

12

c2

=7，
解得：c=

3

或2，
∴b=2或

3

，
∵c＞b，
∴b=

3

，c=2．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了余弦定理，正弦函數(shù)的單調(diào)性，以及正弦函數(shù)的值域，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．