Question

9．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-4y²=1（a＞0）的右頂點到其一條漸近線的距離等于$\frac{\sqrt{3}}{4}$，拋物線E：y²=2px的焦點與雙曲線C的右焦點重合，直線l的方程為x-y+4=0，在拋物線上有一動點M到y(tǒng)軸的距離為d₁，到直線l的距離為d₂，則d₁+d₂的最小值為（　　）

• A． $\frac{5\sqrt{2}}{2}$+2
• B． $\frac{5\sqrt{2}}{2}$+1
• C． $\frac{5\sqrt{2}}{2}$-2
• D． $\frac{5\sqrt{2}}{2}$-1

Answer 1

分析 求出雙曲線的漸近線方程，運用點到直線的距離公式計算可得a，進而得到c，由拋物線的焦點坐標，可得p=2，進而得到拋物線的方程．連接MF，過點M作MA⊥l于點A，作MB⊥y軸于點B，MB的延長線交準線x=-1于點C．由拋物線的定義，得到d₁+d₂=（MA+MF）-1，再由平面幾何知識可得當M、A、F三點共線時，MA+MF有最小值，因此算出F到直線l的距離，即可得到d₁+d₂的最小值．

解答 解：雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-4y²=1的漸近線方程為y=±$\frac{x}{2a}$，
右頂點（a，0）到其一條漸近線的距離等于$\frac{\sqrt{3}}{4}$，可得
$\frac{a}{\sqrt{1+4{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，解得a=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
即有c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=1，
由題意可得$\frac{p}{2}$=1，解得p=2，
即有拋物線的方程為y²=4x，
如圖，過點M作MA⊥l于點A，
作MB⊥y軸于點B，MB的延長線交準線x=-1于點C
連接MF，根據拋物線的定義得MA+MC=MA+MF
∵M到y(tǒng)軸的距離為d₁，M到直線l的距離為d₂，
∴d₁+d₂=MA+MB=（MA+MC）-1=（MA+MF）-1
根據平面幾何知識，可得當M、A、F三點共線時，MA+MF有最小值．
∵F（1，0）到直線l：x-y+4=0的距離為$\frac{|1-0+4|}{\sqrt{2}}$=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
∴MA+MF的最小值是$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
由此可得d₁+d₂的最小值為$\frac{5\sqrt{2}}{2}$-1．
故選：D．

點評 本題考查雙曲線的方程和性質，主要是漸近線方程的運用，同時考查拋物線的方程和性質，給出拋物線和直線l，求拋物線上一點到y(tǒng)軸距離與直線l距離之和的最小值，著重考查了點到直線的距離公式、拋物線的定義和簡單幾何性質等知識，屬于中檔題．