Question

18．設(shè){a_n}是等差數(shù)列，{b_n}是各項都為正整數(shù)的等比數(shù)列，且a₁=b₁=1，a₁₃b₂=50，a₈+b₂=a₃+a₄+5，n∈N^*．
（Ⅰ）求{a_n}，{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{d_n}滿足${d_n}{d_{n+1}}={（\frac{1}{2}）^{-8+{{log}_2}{b_{n+1}}}}$（n∈N^*），且d₁=16，試求{d_n}的通項公式及其前2n項和S_2n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過{b_n}的各項都為正整數(shù)及$\left\{\begin{array}{l}（1+12d）q=50\\（1+7d）+q=（1+2d）+（1+3d）+5\end{array}\right.$，可得解得$\left\{{\begin{array}{l}{d=2}\\{q=2}\end{array}}\right.$，從而可得結(jié)論；
（Ⅱ）通過（I）及l(fā)og₂b_n+1=n可得$\frac{{{d_{n+2}}}}{d_n}=\frac{1}{2}$，結(jié)合已知條件可得d₁，d₃，d₅，…是以d₁=16為首項、以$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列，d₂，d₄，d₆，…是以d₂=8為首項、以$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列，分別求出各自的通項及前n項和，計算即可．

解答 解：（Ⅰ）設(shè){a_n}的公差為d，{b_n}的公比為q，則依題意有q＞0，
且$\left\{\begin{array}{l}（1+12d）q=50\\（1+7d）+q=（1+2d）+（1+3d）+5\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}（1+12d）q=50\\ 2d+q=6\end{array}\right.$，
解得$\left\{{\begin{array}{l}{d=2}\\{q=2}\end{array}}\right.$，或$\left\{{\begin{array}{l}{d=\frac{11}{12}}\\{q=\frac{25}{6}}\end{array}}\right.$，
由于{b_n}各項都為正整數(shù)的等比數(shù)列，所以$\left\{{\begin{array}{l}{d=2}\\{q=2}\end{array}}\right.$，
從而a_n=1+（n-1）d=2n-1，${b_n}={q^{n-1}}={2^{n-1}}$；
（Ⅱ）∵${b_n}={2^{n-1}}$，∴l(xiāng)og₂b_n+1=n，
∴${d_n}{d_{n+1}}={（\frac{1}{2}）^{-8+n}}$，${d_{n+1}}{d_{n+2}}={（\frac{1}{2}）^{-7+n}}$，
兩式相除：$\frac{{{d_{n+2}}}}{d_n}=\frac{1}{2}$，
由d₁=16，${d_1}{d_2}={（\frac{1}{2}）^{-8+1}}=128$，可得：d₂=8，
∴d₁，d₃，d₅，…是以d₁=16為首項，以$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列；
d₂，d₄，d₆，…是以d₂=8為首項，以$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列，
∴當(dāng)n為偶數(shù)時，${d_n}=8×{（\frac{1}{2}）^{\frac{n}{2}-1}}=16{（\frac{{\sqrt{2}}}{2}）^n}$，
當(dāng)n為奇數(shù)時，${d_n}=16×{（\frac{1}{2}）^{\frac{n+1}{2}-1}}=16\sqrt{2}{（\frac{{\sqrt{2}}}{2}）^n}$，
綜上，$89mcblc_{n}=\left\{\begin{array}{l}{16（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{n}，}&{n為偶數(shù)}\\{16\sqrt{2}（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{n}，}&{n為奇數(shù)}\end{array}\right.$，
∴S_2n=（d₁+d₃+…+d_2n-1）+（d₂+d₄+…+d_2n）
=$\frac{{16×[1-{{（\frac{1}{2}）}^n}]}}{{1-\frac{1}{2}}}+\frac{{8×[1-{{（\frac{1}{2}）}^n}]}}{{1-\frac{1}{2}}}=32[1-{（\frac{1}{2}）^n}]+16[1-{（\frac{1}{2}）^n}]=48-48{（\frac{1}{2}）^n}$．

點評 本題考查等差、等比數(shù)列的基本性質(zhì)，求通項及前n項和，考查對數(shù)的性質(zhì)，考查分類討論的思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題．