Question

已知函數(shù)f(x)=x+

a

x

-a
（I） 若f（x）＞0對任意x∈（1，+∞）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；（II）解關(guān)于x的不等式f（x）＞1．

Answer 1

分析：（I） 根據(jù)x∈（1，+∞），將問題等價于x(

x

x-1

)＞a，從而利用基本不等式求最值，進(jìn)而可求實數(shù)a的取值范圍；（II）不等式可化為

(x-1)(x-a)

x

＞0，對參數(shù)a進(jìn)行分類討論，從而可確定不等式的解集．

解答：解：由題意，（I）問題等價于x+

a

x

＞a⇒x＞a-

a

x

=a(1-

1

x

)=a(

x-1

x

)對任意x∈（1，+∞）恒成立；
∵x∈（1，+∞），∴(

x-1

x

)＞0，∴x(

x

x-1

)＞a⇒

x2

x-1

=(x-1)+2+

1

x-1

＞a
∵(x-1)+2+

1

x-1

＞4⇒a＜4
（II）不等式可化為

(x-1)(x-a)

x

＞0
a＜0時x∈（a，0）∪（1，+∞）；a=0時x∈（1，+∞）0＜a＜1時x∈（0，a）∪（1，+∞）a=1時x∈（0，1）∪（1，+∞）a＞1時x∈（0，1）∪（a，+∞）

點評：本題以函數(shù)為載體，考查恒成立問題，考查解不等式，關(guān)鍵是等價轉(zhuǎn)化．