Question

15．如圖1所示，在邊長為4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊CD，CB的中點(diǎn)，EF∩AC=O，沿EF將△CEF翻折到△PEF，連接PA，PB，PD，得到如圖2所示五棱錐P-ABFED，且AP=$\sqrt{30}$，
（1）求證：BD⊥平面POA；
（2）求二面角B-AP-O的正切值．

Answer 1

分析 （1）證明PO⊥BD，AO⊥BD，可得BD⊥平面APO，
（2）以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸，OF為y軸，OP為z軸，建立坐標(biāo)系，則O（0，0，0），A（3$\sqrt{3}$，0，0），P（0，0，$\sqrt{3}$），B（$\sqrt{3}$，2，0），求出平面OAP的一個法向量，平面ABP的一個法向量即可

解答 證明：（1）PO⊥EF，AO⊥EF，所以EF⊥平面POA，因?yàn)锽D∥EF
∴BD⊥平面POA
則PO⊥BD，又AO⊥BD，AO∩PO=O，AO?平面APO，PO?平面APO，
∴BD⊥平面APO，
（2）因?yàn)锳P=$\sqrt{30}$，可證PO⊥AO，所以EF，PO，AO互相垂直
以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸，OF為y軸，OP為z軸，建立坐標(biāo)系，
則O（0，0，0），A（3$\sqrt{3}$，0，0），P（0，0，$\sqrt{3}$），B（$\sqrt{3}$，2，0），
設(shè)$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）為平面OAP的一個法向量，
則$\overrightarrow{n}$=（0，1，0），$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）為平面ABP的一個法向量，
$\overrightarrow{AB}$=（-2$\sqrt{3}$，2，0），$\overrightarrow{AP}$=（-3$\sqrt{3}$，0，$\sqrt{3}$），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AB}=-2\sqrt{3}x+2y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AP}=-3\sqrt{3}x+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，令x=1，則y=$\sqrt{3}$，z=3，
則$\overrightarrow{m}$=（1，$\sqrt{3}$，3）…．cosθ=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{13}}$，∴tanθ=$\frac{\sqrt{30}}{3}$
∴二面角B-AP-O的正切值為$\frac{\sqrt{30}}{3}$

點(diǎn)評 本題考查了空間線面垂直的判定，及向量法求二面角，考查了空間問題處理的能力，屬于中檔題．