Question

5．點M是單位圓O（O是坐標(biāo)原點）與x軸正半軸的交點，點P在單位圓上，∠MOP=x（0＜x＜π），$\overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OM}$，四邊形OMQP的面積為S，函數(shù)$f（x）=\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{OQ}+\sqrt{3}S$．
（1）求函數(shù)f（x）的取值范圍；
（2）若f（x）=$\frac{3}{2}$，求cosx的值．

Answer 1

分析 （1）由題意，|$\overrightarrow{OQ}$|=$\sqrt{（1+cosx）^{2}+si{n}^{2}x}$，化簡得|$\overrightarrow{OQ}$|=2|cos$\frac{1}{2}$x|，從而得到$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{OQ}$=2cos²$\frac{1}{2}$x=1+cosx；四邊形OMQP的面積S=|$\overrightarrow{OM}$|•|$\overrightarrow{OP}$|sin∠POM=sinx．代入題中的表達式并化簡整理，得f（x）=2sin（x+$\frac{π}{6}$）+1，由正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可得到所求范圍；
（2）通過x的范圍，求得cos（x+$\frac{π}{6}$），再由cosx=cos[（x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]，運用兩角差的余弦公式，計算即可得到．

解答 解：（1）由題意，得M（1，0），P（cosx，sinx），
∴$\overrightarrow{OQ}$=$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{OP}$=（1+cosx，sinx），
得四邊形OMQP的面積S=|$\overrightarrow{OM}$|•|$\overrightarrow{OP}$|sin∠POM=sinx，
$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{OQ}$=|$\overrightarrow{OM}$|•|$\overrightarrow{OQ}$|cos∠QOM=1×$\sqrt{（1+cosx）^{2}+si{n}^{2}x}$×cos$\frac{x}{2}$
而$\sqrt{（1+cosx）^{2}+si{n}^{2}x}$=$\sqrt{2+2cosx}$=$\sqrt{2+2（2co{s}^{2}\frac{x}{2}-1）}$=2|cos$\frac{x}{2}$|
∵0＜$\frac{1}{2}$x＜$\frac{π}{2}$，得cos$\frac{1}{2}$x是正數(shù)，
∴$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{OQ}$=2cos²$\frac{1}{2}$x=1+cosx，
因此，函數(shù)$f（x）=\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{OQ}+\sqrt{3}S$
=1+cosx+$\sqrt{3}$sinx=2sin（x+$\frac{π}{6}$）+1，
即函數(shù)f（x）的表達式為y=2sin（x+$\frac{π}{6}$）+1，0＜x＜π，
由x+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$），即有sin（x+$\frac{π}{6}$）∈（-$\frac{1}{2}$，1]，
即有函數(shù)f（x）的取值范圍為（0，3]；
（2）f（x）=$\frac{3}{2}$，即有sin（x+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{4}$，
由于0＜sin（x+$\frac{π}{6}$）＜$\frac{1}{4}$$＜\frac{1}{2}$，則x∈（$\frac{π}{2}$，π），
即有cos（x+$\frac{π}{6}$）=-$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
則cosx=cos[（x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]=cos（x+$\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$+sin（x+$\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$
=-$\frac{\sqrt{15}}{4}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{1-3\sqrt{5}}{8}$．

點評 本題給出單位圓中的向量，求四邊形面積和向量的數(shù)量積，并求與之相關(guān)的三角函數(shù)的值域．著重考查了平面向量的數(shù)量積、三角恒等變換等知識點，屬于中檔題．