Question

已知函數(shù)f(x)=

ax2+x-1

ex

（Ⅰ）當a=0時，求函數(shù)f（x）在[1，3]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）當-

1

2

≤a＜0時，討論函數(shù)f（x）的單調性；
（Ⅲ）若f（x）+3≥0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

（1）當a=0時，f′(x)=

2-x

ex

，若f'（x）≥0，則x＜2，若f'（x）＜0，則x＞2．
所以當x=2時，函數(shù)取得即極大值即最大值f（2）=

1

e2

，因為f（1）=0，f（3）=

2

e3

＞0，
所以最小組為0．
（2）求導，得f′(x)=

(ax+1)(2-x)

ex

，令f'（x）=0，則（ax+1）（2-x）=0，
當a≠0時，方程二根為-

1

a

和2．
因為-

1

2

≤a＜0，所以-

1

a

＞2，
由f'（x）＜0得，x＞-

1

a

或x＜2，此時函數(shù)單調遞減，
由f'（x）＞0，得-

1

a

＜x＜2，此時函數(shù)單調遞增．
（3）由f（x）+3≥0得ax²≥1-x-3e^x，當x=0時，f（x）+3≥0恒成立．
當x≠0時，若f（x）+3≥0恒成立，即a≥

1-x-3ex

x2

恒成立，令g(x)=

1-x-3ex

x2

，只需求其最大值即可．
由g′(x)=

x(3ex-1)(2-x)

x4

=0，得x=2或x=-ln3．
當-ln3＜x＜0或0＜x＜2時，g'（x）＞0，當x＜-ln3或x＞2時，g'（x）＜0，
所以當x變化時，g（x），g'（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，ln3）	-ln3	（-ln3，0）	0	（0，2）	2	（2，+∞）
g'（x）	+	0	-		+	0	-
g（x）	遞增	極大值	遞減		遞增	極大值	遞減

由上表可知，f（x）的極大值是f（-ln3）=

1

ln3

和g（2）=-

3e2+1

4

，f（x）的最大值是f（-ln3）=

1

ln3

，
所以要使f（x）+3≥0恒成立，則a≥

1

ln3

．