Question

2．對于兩個平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，定義它們的一種運算：$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow$=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|sinθ（其中θ為向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的夾角），則關(guān)于這種運算的以下結(jié)論中，不恒成立的是（　�。�

• A． $\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow$=$\overrightarrow$?$\overrightarrow{a}$
• B． 若$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow$=0，則$\overrightarrow{a}$$∥\overrightarrow$
• C． （$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）?$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow{c}$+$\overrightarrow$?$\overrightarrow{c}$
• D． 若$\overrightarrow{a}$=（x₁，y₁），$\overrightarrow$=（x₂，y₂），則$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow$=|x₁y₂-x₂y₁|

Answer 1

分析 對于選項A，根據(jù)$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow$運算的定義容易判斷出選項A恒成立；
對于選項B，討論$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$是否為$\overrightarrow{0}$：$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$都不為$\overrightarrow{0}$時，便可得出sinθ=0，從而得到θ=0，或π，從而得出$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow$，而$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$中有一個為$\overrightarrow{0}$時，顯然$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow$成立，從而判斷出B恒成立；
對于選項C，可設(shè)$\overrightarrow{a}+\overrightarrow=\overrightarrow{0}$，而$\overrightarrow{c}$與$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$不共線，這樣即可說明該選項不恒成立；
對于選項D，根據(jù)$\overrightarrow{a}?\overrightarrow$運算的定義即可得到$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow$=$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|\sqrt{1-co{s}^{2}θ}$，而$cosθ=\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}$，帶入化簡，并帶入$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}}，|\overrightarrow|=\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}}$便可以說明該選項恒成立，這樣即可得出正確選項．

解答 解：A．∵$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow$=$|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow|sinθ$，θ表示向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$的夾角；
$\overrightarrow{a}?\overrightarrow=|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow|sinθ=|\overrightarrow|•|\overrightarrow{a}|sinθ=\overrightarrow?\overrightarrow{a}$，∴該選項恒成立；
B．①當$\overrightarrow{a}，\overrightarrow≠\overrightarrow{0}$時，$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow$=$|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow|sinθ=0$時，sinθ=0；
∴θ=0，或π；
∴$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$；
②當$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}$，或$\overrightarrow=\overrightarrow{0}$時，$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow$恒成立；
∴該選項恒成立；
C．當$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow|=|\overrightarrow{c}|=1$，$\overrightarrow{a}+\overrightarrow=\overrightarrow{0}$，$\overrightarrow{c}⊥\overrightarrow{a}，\overrightarrow{c}⊥\overrightarrow$時，$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）$?$\overrightarrow{c}=0$，$\overrightarrow{a}?\overrightarrow{c}+\overrightarrow?\overrightarrow{c}=2$；
∴該選項不恒成立；
D.$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|sinθ=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|\sqrt{1-co{s}^{2}θ}$=$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|\sqrt{1-（\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}）^{2}}$=$\sqrt{|\overrightarrow{a}{|}^{2}|\overrightarrow{|}^{2}-（\overrightarrow{a}•\overrightarrow）^{2}}$
=$\sqrt{（{{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}）（{{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}）-（{x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{（{x}_{1}{y}_{2}-{x}_{2}{y}_{1}）^{2}}=|{x}_{1}{y}_{2}-{x}_{2}{y}_{1}|$，∴該選項恒成立．
故選：C．

點評 考查對新運算$\overrightarrow{a}?\overrightarrow$的理解和運用，向量夾角的概念，向量平行的概念，舉反例的方法說明結(jié)論不恒成立，以及向量夾角的余弦公式，根據(jù)向量坐標求向量長度，完全平方公式的運用．