Question

10．已知函數f（x）=2$\sqrt{2}sin\frac{π}{8}xcos\frac{π}{8}x+2\sqrt{2}{cos^2}\frac{π}{8}x-\sqrt{2}$，x∈R．
（1）求函數f（x）的最小正周期和單調遞增區(qū)間；
（2）若函數f（x）圖象上的兩點P，Q的橫坐標依次為1，5，O為坐標原點，求S_△OPQ．

Answer 1

分析 （1）由題意和三角函數公式化簡，由周期公式和整體法可得；
（2）由題意易得P和Q的坐標，進而可得$|{OP}|=\sqrt{5}，|{OQ}|=\sqrt{29}$，由向量的夾角公式和三角函數基本關系可得sin∠POQ，由三角形的面積公式可得．

解答 解：（1）由題意和三角函數公式化簡可得：
$f（x）=2\sqrt{2}sin\frac{π}{8}xcos\frac{π}{8}x+\sqrt{2}（2{cos^2}\frac{π}{8}x-1）$
=$\sqrt{2}sin\frac{π}{4}x+\sqrt{2}cos\frac{π}{4}x=2sin（\frac{π}{4}x+\frac{π}{4}）$，
∴函數f（x）的最小正周期為$T=\frac{2π}{{\frac{π}{4}}}=8$，
由$2kπ-\frac{π}{2}≤\frac{π}{4}x+\frac{π}{4}≤2kπ+\frac{π}{2}$（k∈Z）得8k-3≤x≤8k+1（k∈Z），
∴函數f（x）的單調遞增區(qū)間是[8k-3，8k+1]（k∈Z）；
（2）∵$f（1）=2sin（{\frac{π}{4}+\frac{π}{4}}）=2，f（5）=2sin（{\frac{5π}{4}+\frac{π}{4}}）=-2$，
∴P（1，2），Q（5，-2），∴$|{OP}|=\sqrt{5}，|{OQ}|=\sqrt{29}$，
∴$cos∠POQ=\frac{{\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}}}{{|{\overrightarrow{OP}}|•|{\overrightarrow{OQ}}|}}=\frac{1}{{\sqrt{5}•\sqrt{29}}}$，
∴$sin∠POQ=\sqrt{1-{{cos}^2}∠POQ}=\frac{12}{{\sqrt{5}•\sqrt{29}}}$，
∴${S_{△OPQ}}=\frac{1}{2}|{OP}|•|{OQ}|sin∠POQ=6$．

點評 本題考查三角函數的單調性和周期性，涉及三角形的面積的求解和向量的知識，屬中檔題．