Question

拋物線y=g（x）過點O（0，0）、A（m，0）與點P（m+1，m+1），其中m＞n＞0，b＜a，設函數f（x）=（x-n）g（x）在x=a和x=b處取到極值．
（1）用m，x表示y=g（x）并比較a，b，m，n的大�。ㄒ�求按從小到大排列）；
（2）若，且過原點存在兩條互相垂直的直線與曲線y=f（x）均相切，求y=f（x）．

Answer 1

【答案】分析：（1）設拋物線方程，利用拋物線過點P，可得k=1，從而可得y=g（x）=x（x-m），利用函數f（x）在x=a和x=b處取到極值，結合m＞n＞0，即可比較a，b，m，n的大��；
（2）設切點Q（x，y），求導數，可得切線的方程，利用切線過原點，得兩條兩條切線的斜率，根據，兩條切線垂直，即可求得函數解析式．
解答：解：（1）由拋物線經過點O（0，0）、A（m，0）
設拋物線方程y=kx（x-m）（k≠0），
又拋物線過點P（m+1，m+1），則m+1=k（m+1）（m+1-m），得k=1，
所以y=g（x）=x（x-m）．              …（3分）
∴f（x）=（x-n）g（x）=x³-（m+n）x²+mnx，
∴f′（x）=3x²-2（m+n）x+mn，
∵函數f（x）在x=a和x=b處取到極值，…（5分）
∴f′（a）=0，f′（b）=0，
∵m＞n＞0，
∴f′（m）=3m²-2（m+n）m+mn=m（m-n）＞0    …（7分）
f′（n）=3n²-2（m+n）n+mn=n（n-m）＜0，
又b＜a，故b＜n＜a＜m．                                    …（8分）
（2）設切點Q（x，y），則切線的斜率k=f′（x）=3x²-2（m+n）x+mn
又y=-（m+n）+mnx，所以切線的方程是y-+（m+n）-mnx=[3x²-2（m+n）x+mn]（x-x）…（9分）
又切線過原點，故-+（m+n）-mnx=[3x²-2（m+n）x+mn]（-x）
所以2-（m+n）=0，解得x=0，或x=．      …（10分）
兩條切線的斜率為k₁=f′（0）=mn，，
由，得（m+n）²≥8，∴，
∴，
所以…（12分）
又兩條切線垂直，故k₁k₂=-1，
所以上式等號成立，有，且mn=1．
所以f（x）=x³-（m+n）x²+mnx=x³-x²+x．           …13 分
點評：本題考查導數知識的運用，考查導數的幾何意義，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．