Question

（21）

設(shè)α為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)=x³-x²-x+a.

（Ⅰ）求f(x)的極值；

（Ⅱ）當(dāng)a在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，曲線y=f(x)與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)。

Answer 1

（21）本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的概念和計(jì)算，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法及推理和運(yùn)算能力。

解：（Ⅰ）f’(x)=3x²-2x-1

若f’(x)=0，則x=-,1.

當(dāng)x變化時(shí)，f’(x), f(x)變化情況如下表：

 

x	(-∞,-)	-	(-,1)	1	(1,+∞)
f'(x)	+	0	-	0	+
f(x)	↗	極大值	↘	極小值	↗

 

所以f(x)的極大值是f（-）=+a，極小值是f(1)=a-1.

（Ⅱ）函數(shù)f(x)=x³-x²-x+a=(x-1)²(x+1)+a-1

由此可知x取足夠大的正數(shù)時(shí)，有f(x)>0，x取足夠小的負(fù)數(shù)時(shí)有f(x)<0，所以由線y=f(x)與x軸至少有一個(gè)交點(diǎn)。

結(jié)合f(x)的單調(diào)性可知：

當(dāng)f(x)的極大值+a<0，即a∈(-∞,-)時(shí)，它的極小值也小于0，因此曲線y= f(x)與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)，它在（1,+∞）上；

當(dāng)f(x)的極小值a-1>0，即a∈(1,+∞）時(shí)，它的極大值也大于0，因此曲線y=f(x)與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)，它在（-∞,-）上。

所以當(dāng)a∈(-∞,-)∪(1,+∞)時(shí)，曲線y= f(x)與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn).