Question

17．已知函數(shù)f（x）=$\frac{lnx+a}{x}$（a∈R），f′（1）=0．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）證明當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）≤1．

Answer 1

分析 （1）先確定函數(shù)f（x）的定義域，再求導(dǎo)$f'（x）=\frac{1-lnx-a}{x^2}$，從而得$\frac{1-ln1-a}{1}=0$，從而解得；
（2）由題意，f（x）≤1等價(jià)于lnx+1≤x；從而令h（x）=x-lnx-1，從而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧x|x＞0}，
$f'（x）=\frac{1-lnx-a}{x^2}$，
又∵f′（1）=0，
∴$\frac{1-ln1-a}{1}=0$，
∴a=1．
（2）證明：∵x≥1，
∴f（x）≤1等價(jià)于lnx+1≤x；
令h（x）=x-lnx-1，則$h'（x）=\frac{x-1}{x}$，
∵x≥1，
∴h′（x）≥0，
故h（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
則當(dāng)x≥1時(shí)，h（x）≥h（1）=0，
即lnx+1≤x成立．
∴當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）≤1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及恒成立問題，屬于中檔題．