Question

10．已知函數(shù)f（x）=2sinx（sinx+cosx）．
（I）求f（x）的最小正周期及對(duì)稱中心坐標(biāo)；
（II）求f（x）的遞減區(qū)間．

Answer 1

分析 （I）利用二倍角公式以及兩角和與差的三角函數(shù)化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，然后求解f（x）的最小正周期，利用正弦函數(shù)的對(duì)稱中心求解函數(shù)的對(duì)稱中心坐標(biāo)；
（II）利用正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間求解函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間即可．

解答 （本題滿分12分）
解：（I）f（x）=2sinx（sinx+cosx）=2sin²x+2sinxcosx=$sin2x-cos2x+1=\sqrt{2}sin（2x-\frac{π}{4}）+1$，…（2分）
則f（x）的最小正周期T=π，…（3分）
由$\left\{\begin{array}{l}sin（2x-\frac{π}{4}）=0\\ y=1\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}2x-\frac{π}{4}=kπ\(zhòng)\ y=1\end{array}\right.$（k∈Z），
即$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{8}\\ y=1\end{array}\right.$（k∈Z），f（x）的對(duì)稱中心坐標(biāo)為$（\frac{kπ}{2}+\frac{π}{8}，1）$（k∈Z）；…（7分）
（Ⅱ）由$\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{4}≤\frac{3π}{2}+2kπ$，
得$\frac{3π}{8}+kπ≤x≤\frac{7π}{8}+kπ$（k∈Z），f（x）的遞減區(qū)間為$[\frac{3π}{8}+kπ，\frac{7π}{8}+kπ]$（k∈Z）．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，正弦函數(shù)的對(duì)稱性以及對(duì)稱中心周期是求法，考查計(jì)算能力．