Question

9．將一個數(shù)列中部分項按原來的先后次序排列所成的一個新數(shù)列稱為原數(shù)列的一個子數(shù)列．如果數(shù)列存在成等比數(shù)列的子數(shù)列，那么稱該數(shù)列為“弱等比數(shù)列”．已知m＞1，設(shè)區(qū)間（m，+∞）內(nèi)的三個正整數(shù)a，x，y滿足：數(shù)列a²，$\sqrt{{y}^{2}-1}$，cos$\frac{π}{2}$，x²-1為“弱等比數(shù)列”，則$\frac{a}{x}$的最小值為2．

Answer 1

分析 由新定義可得數(shù)列a²，$\sqrt{{y}^{2}-1}$，x²-1為等比數(shù)列，進一步得到$\frac{{x}^{2}}{\frac{{a}^{2}-1}{{a}^{2}}}-\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}-1}=1$，由此可得$\frac{{x}^{2}}{\frac{{a}^{2}-1}{{a}^{2}}}≤1$，即${x}^{2}≤\frac{{a}^{2}-1}{{a}^{2}}$，再轉(zhuǎn)化為只含a的代數(shù)式，配方后利用基本不等式求最值．

解答 解：由題意，數(shù)列a²，$\sqrt{{y}^{2}-1}$，cos$\frac{π}{2}$，x²-1為“弱等比數(shù)列”，
則數(shù)列a²，$\sqrt{{y}^{2}-1}$，x²-1為等比數(shù)列，
∴y²-1=a²（x²-1），
即a²x²-y²=a²-1，
由題意可知，a＞1，
∴$\frac{{x}^{2}}{\frac{{a}^{2}-1}{{a}^{2}}}-\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}-1}=1$，
則$\frac{{x}^{2}}{\frac{{a}^{2}-1}{{a}^{2}}}≤1$，∴${x}^{2}≤\frac{{a}^{2}-1}{{a}^{2}}$，
則$\frac{{a}^{2}}{{x}^{2}}≥\frac{{a}^{4}}{{a}^{2}-1}$=$\frac{（{a}^{2}-1）^{2}+2（{a}^{2}-1）+1}{{a}^{2}-1}$=$（{a}^{2}-1）+\frac{1}{{a}^{2}-1}+2≥4$，
當且僅當${a}^{2}-1=\frac{1}{{a}^{2}-1}$，即a=2（a＞1）時取等號．
∴$\frac{a}{x}≥2$（a＞1，x＞1）．
即$\frac{a}{x}$的最小值為2．
故答案為：2．

點評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了數(shù)列的函數(shù)特性，訓(xùn)練了利用基本不等式求最值，是難題．