Question

5．已知直線l：y=2x+4與拋物線C：y=ax²（a＞0）交于M，N兩點(diǎn)，直線l與x軸交于A點(diǎn)，若$\overrightarrow{AN}$=4$\overrightarrow{AM}$，則拋物線C的方程為y=2x²．

Answer 1

分析 將y=2x+4代入拋物線方程y=ax²，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），運(yùn)用判別式大于0，和韋達(dá)定理，結(jié)合向量的共線的坐標(biāo)表示，解方程可得a=2，進(jìn)而得到拋物線方程．

解答 解：將y=2x+4代入拋物線方程y=ax²，
可得ax²-2x-4=0，
判別式為4+16a＞0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
x₁+x₂=$\frac{2}{a}$，①x₁x₂=-$\frac{4}{a}$，②
又A（-2，0），
若$\overrightarrow{AN}$=4$\overrightarrow{AM}$，
則x₂+2=4（x₁+2），③
由①②③可得x₁=-1，x₂=2，a=2．
即有拋物線方程為y=2x²，
故答案為：y=2x²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，主要考查直線和拋物線方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，同時(shí)考查向量共線的坐標(biāo)表示，屬于中檔題．