Question

設(shè)函數(shù)y=f（x）在R上有意義，對于給定的正數(shù)K，定義f_k（x）=

f(x)，f(x)≥k k，f(x)＜k

，取函數(shù)f（x）=2+x+e^-x，如對任意的x∈R恒有f_k（X）=f（x）．則K的最大值為

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：由已知條件可得k≤f（x）_min，用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的最值，進而求出k的范圍，進一步得出所要的結(jié)果．

解答： 解：由題意可得出k≤f（x）_min，
由于f′（x）=1-e^-x，令f′（x）=0，e^-x=1=e⁰解出x=0，
當(dāng)x＞0時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)x＜0時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減．
故當(dāng)x=0時，f（x）取到最小值f（0）=2+1=3．
故當(dāng)k≤3時，恒有f_k（x）=f（x）
因此k的最大值為3．
故答案為3．

點評：本題考查學(xué)生對新定義型問題的理解和掌握程度，理解好新定義的分段函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵，將所求解的問題轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最值問題，利用了導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了恒成立問題的解題思想．