Question

3．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+{y^2}=1（{a＞1}）$的左、右焦點分別為F₁（-c，0）、F₂（c，0），P為橢圓C上任意一點，且$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$最小值為0．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）若動直線l₂，l₂均與橢圓C相切，且l₁∥l₂，試探究在x軸上是否存在定點B，使得點B到l₁，l₂的距離之積恒為1？若存在，請求出點B的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設P（x，y），由$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$最小值為0，得1-c²=0，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）當直線l₁，l₂斜率存在時，設其方程為y=kx+m，y=kx+n，把l₁的方程代入橢圓方程，得（1+2k²）x²+4mkx+2m²-2=0，由直線l₁與橢圓C相切，得m²=1+2k²，同理，n²=1+2k²，從而求得t=±1，由此能求出滿足題意的定點B的坐標．

解答 解：（Ⅰ）設P（x，y），則有$\overrightarrow{{F}_{1}P}$=（x+c，y），$\overrightarrow{{F}_{2}P}$=（x-c，y），
$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=x²+y²-c²=$\frac{{a}^{2}-1}{{a}^{2}}{x}^{2}+1-{c}^{2}$，x∈[-a，a]，
由$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$最小值為0，得1-c²=0，
∴c=1，a²=2，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．
（Ⅱ）當直線l₁，l₂斜率存在時，設其方程為y=kx+m，y=kx+n，
把l₁的方程代入橢圓方程，得（1+2k²）x²+4mkx+2m²-2=0，
∵直線l₁與橢圓C相切，∴△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-2）=0，
化簡，得m²=1+2k²，
同理，n²=1+2k²，
∴m²=n²，若m=n，則${{l}_{1}}^{\;}，{l}_{2}$重合，不合題意，∴m=-n，
設在x軸上存在點B（t，0），點B到直線l₁，l₂的距離之積為1，
則$\frac{|kt+m|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}•\frac{|kt-m|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，即|k²t²-m²|=k²+1，
把1+2k²=m²代入并去絕對值整理，得：
k²（t²-3）=2或k²（t²-1）=0，
前式不恒成立，而要使得后對任意的k∈R恒立，
則t²-1=0，解得t=±1．
當直線l₁，l₂的距離之積為（$\sqrt{2}-1$）（$\sqrt{2}+1$）=1，
定點（1，0）到直線l₁，l₂的距離之積為（$\sqrt{2}+1$）（$\sqrt{2}-1$）=1，
綜上所述，滿足題意的定點B為（-1，0）或（1，0）．

點評 本題考查曲線方程的求法，考查滿足條件的點的坐標是否存在的判斷與求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意橢圓性質、直線與橢圓相切、向量數量積的合理運用．