Question

5．如圖，正六邊形ABCDEF的邊長為1，O為其中心，M，N分別是BC，DE上的動點，且|$\overrightarrow{BM}$|=|$\overrightarrow{DN}$|．
（1）若M，N分別是BC，DE的中點，求$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$的值；
（2）求$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）以O(shè)為原點，CF所在直線為x軸，建立如圖所示的直角坐標系．求得C，B，D，E的坐標，由中點坐標公式可得M，N的坐標，再由數(shù)量積的坐標表示可得所求值；
（2）設(shè)|$\overrightarrow{BM}$|=|$\overrightarrow{DN}$|=t（0≤t≤1），則$\overrightarrow{BM}$=t$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{DN}$=t$\overrightarrow{DE}$，求得M，N的坐標，求得$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$的關(guān)于t的二次函數(shù)，再由對稱軸和區(qū)間的關(guān)系，即可得到所求范圍．

解答 解：91）以O(shè)為原點，CF所在直線為x軸，建立如圖所示的直角坐標系．
即有C（1，0），B（$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），D（（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），E（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
M，N分別是BC，DE的中點，即有M（$\frac{3}{4}$，-$\frac{\sqrt{3}}{4}$），N（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
則$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=$\frac{3}{4}$×0+（-$\frac{\sqrt{3}}{4}$）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=-$\frac{3}{8}$；
（2）設(shè)|$\overrightarrow{BM}$|=|$\overrightarrow{DN}$|=t（0≤t≤1），
則$\overrightarrow{BM}$=t$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{DN}$=t$\overrightarrow{DE}$，
由（1）可得$\overrightarrow{BC}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{DE}$=（-1，0），
$\overrightarrow{OM}$=（$\frac{1}{2}$t+$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$t-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{ON}$=（-t+$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
即有$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=（$\frac{1}{2}$t+$\frac{1}{2}$）（$\frac{1}{2}$-t）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$t-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）
=$\frac{1}{2}$（t-t²-1）=-$\frac{1}{2}$（t-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{3}{8}$，
由$\frac{1}{2}$∈[0，1]，則t=$\frac{1}{2}$是，取得最大值-$\frac{3}{8}$；
t=0（或1）時，取得最小值-$\frac{1}{2}$．
則$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$的取值范圍是[-$\frac{1}{2}$，-$\frac{3}{8}$]．

點評 本題主要考查向量的數(shù)量積的坐標表示，考查化簡整理的運算能力和二次函數(shù)的最值求法，注意坐標法思想的運用．