Question

13．已知函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的圖象上一個(gè)最低點(diǎn)是（-6，-$\sqrt{2}$），由這個(gè)最低點(diǎn)到相鄰的最高點(diǎn)的曲線與x軸的交點(diǎn)是（-2，0），求函數(shù)解析式．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的最低點(diǎn)求出A，根據(jù)最低點(diǎn)和x軸的交點(diǎn)得函數(shù)的周期T，利用周期公式T=$\frac{2π}{ω}$可求ω，然后求φ即可．

解答 解：∵f（x）的圖象上一個(gè)最低點(diǎn)是（-6，-$\sqrt{2}$），
∴A=$\sqrt{2}$，
∵這個(gè)最低點(diǎn)到相鄰的最高點(diǎn)的曲線與x軸的交點(diǎn)是（-2，0），
∴$\frac{T}{4}$=-2-（-6）=6-2=4，
∴T=16，由周期公式 $T=\frac{2π}{ω}$=16，可得ω=$\frac{π}{8}$，
則y=$\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{8}$x+φ），
由函數(shù)圖象過(guò)（-6，-$\sqrt{2}$），
代入可得$\sqrt{2}$sin（$-\frac{6π}{8}$+φ）=$-\sqrt{2}$，
即sin（$-\frac{3π}{4}$+φ）=-1，
即$-\frac{3π}{4}$+φ=2kπ-$\frac{π}{2}$，即φ=$\frac{π}{4}$+2kπ，
∵0＜φ＜$\frac{π}{2}$，
∴當(dāng)k=0時(shí)，φ=$\frac{π}{4}$，
即f（x）=$\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{8}$x+$\frac{π}{4}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的解析式，其步驟：由函數(shù)的最值求解A；由函數(shù)的周期求解ω；再把函數(shù)所過(guò)的一點(diǎn)（一般用最值點(diǎn)）代入可求φ，從而可求函數(shù)的解析式．