Question

已知函數(shù)f（x）=x³-ax²-3x．
（I）若；
（II）在（1）的條件下，是否存在實數(shù)b，使得函數(shù)g（x）=bx的圖象與函數(shù)f（x）的圖象恰有3個交點若存在，請求出實數(shù)b的取值范圍；若不存在，試說明理由．

Answer 1

解：（I）依題意，求導函數(shù)，可得f′（x）=3x²-2ax-3，
∵
∴f′（-）=0，∴+a-3=0，∴a=4，
∴f（x）=x³-4x²-3x，f′（x）=3x²-8x-3，
令f′（x）=3x²-8x-3=0，解得x₁=-，x₂=3，
∴函數(shù)在（1，3）上單調(diào)減，（3，4）上單調(diào)增
而f（1）=-6，f（3）=-18，f（4）=-12，∴f（x）在區(qū)間[1，4]上的最大值是f（1）=-6．
（Ⅱ）函數(shù)g（x）=bx的圖象與函數(shù)f（x）的圖象恰有3個不同的交點，等價于方程x³-4x²-3x=bx恰有3個不等的實數(shù)根，
而x=0是方程x³-4x²-3x=bx的一個實數(shù)根，則方程x²-4x-3-b=0有兩個非零實數(shù)根，
則 ，即b＞-7且b≠-3，
故滿足條件的b存在，其取值范圍是（-7，-3）∪（-3，+∞）．
分析：（I）首利用函數(shù)的導數(shù)與極值的關系求出a的值，確定函數(shù)在區(qū)間[1，4]上的單調(diào)性，求出函數(shù)極值的大小并與端點函數(shù)值進行比較，即可求出函數(shù)的最大值；
（Ⅱ）可以先假設存在，將函數(shù)g（x）=bx的圖象與函數(shù)f（x）的圖象恰有3個不同的交點，等價于方程x³-4x²-3x=bx恰有3個不等的實數(shù)根，進一步轉(zhuǎn)化為方程x²-4x-3-b=0有兩個非零實數(shù)根，即可求得結(jié)論．
點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值，考查圖象的交點，熟練運用導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關系，將圖象的交點問題轉(zhuǎn)化為方程根的研究是解題的關鍵．