Question

在數(shù)列，S_n是數(shù)列{a_n}的前n項和．當(dāng)n≥2且n∈N^*時，S_n+1（S_n+1-2S_n）+（2S_n-S_n-1）S_n-1=1，令．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）試用n和b_n表示b_n+1；
（3）若b₁=1，n∈N^*，證明：．

Answer 1

【答案】分析：（1）由S_n+1（S_n+1-2S_n）+（2S_n-S_n-1）S_n-1=1化簡可得數(shù)列{a_n²}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，求出通項公式開方可得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）根據(jù)b_n的通項公式得到b_n+1的通項，然后相減得，移項化簡可得b_n+1；
（3）當(dāng)n=1時，不等式成立；當(dāng)n≥2時，列舉b_n各項化簡不等式的左邊，然后當(dāng)k≥2時，利用即可得證．
解答：解：（1）由S_n+1（S_n+1-2S_n）+（2S_n-S_n-1）S_n-1=1
得（S_n+1-S_n）²-（S_n-S_n-1）²=1，即a_n+1²-a_n²=1（n≥2，n∈N^*）
∴數(shù)列{a_n²}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列
于是，∴

（2）當(dāng)n≥2時，∵
∴．
∴∴

（3）當(dāng)n=1時，，不等式成立；
當(dāng)n≥2時，由（1）得
∴
又當(dāng)k≥2時，
∴
于是當(dāng)n≥2時，
綜上所述，對一切n∈N^*，不等式都成立．
點評：考查學(xué)生靈活運用數(shù)列解決實際問題的能力，以及會求等差、等比數(shù)列的通項公式及前n項和的公式．會利用數(shù)列進行不等式的證明．