Question

如圖，點(diǎn)是以線(xiàn)段為直徑的圓上一點(diǎn)，于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的切線(xiàn)，與的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連結(jié)并延長(zhǎng)與相交于點(diǎn)，延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn).

（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）求證：是圓的切線(xiàn).

Answer 1

（Ⅰ）詳見(jiàn)試題解析；（Ⅱ）詳見(jiàn)試題解析.

解析試題分析：（Ⅰ）由，可得，從而可得
通過(guò)等量代換及題設(shè)“點(diǎn)是的中點(diǎn)”可得.
（Ⅱ）目標(biāo)是要證是直角，連結(jié)便可看出只要證得是等腰三角形即可．顯然是等腰三角形。因?yàn)橹睆缴系膱A周角是直角，，所以是直角三角形. 由（Ⅰ）得所以，從而本題得證.
試題解析：證明：（Ⅰ） 是圓的直徑，是圓的切線(xiàn)，
．又，
．
可以得知，   ．
．．
是的中點(diǎn)，．．                        5分

（Ⅱ）連結(jié)．
是圓的直徑，．
在中，由（Ⅰ）得知是斜邊的中點(diǎn)，
．．
又，．
是圓的切線(xiàn)，
，
是圓的切線(xiàn)．                                                   10分
考點(diǎn)：1、相似三角形；2、圓的性質(zhì)；3、等量代換；4、直角三角形斜邊上的中線(xiàn)；5、幾何證明