Question

14．已知△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，sinA+sinB-4sinC=0，且△ABC的周長L=5，面積S=$\frac{16}{5}$-$\frac{1}{5}$（a²+b²），則cosC=$\frac{3}{5}$．

Answer 1

分析 利用正弦定理化簡已知的第一個等式，得到a+b=4c，代入第二個等式中計算，即可求出c的長，利用三角形的面積公式表示出三角形ABC的面積S，代入已知的等式中，利用完全平方公式變形后，將a+b=4代入化簡，即可求出cosC的值．

解答 解：△ABC中，∵sinA+sinB-4sinC=0，
∴a+b=4c，
∵△ABC的周長L=5，
∴a+b+c=5，∴c=1，a+b=4．
∵面積S=$\frac{16}{5}$-$\frac{1}{5}$（a²+b²），
∴$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{16}{5}$-$\frac{1}{5}$（a²+b²）=$\frac{16}{5}$-$\frac{1}{5}$[（a+b）²-2ab]=$\frac{2}{5}$ab，
∴sinC=$\frac{4}{5}$，
∵c＜a+b，C是銳角，
∴cosC=$\sqrt{1-si{n}^{2}C}$=$\frac{3}{5}$．
故答案為：$\frac{3}{5}$．

點(diǎn)評 此題考查了正弦定理，三角形的面積公式，完全平方公式的運(yùn)用，熟練掌握正弦定理是解本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．