Question

13．若非零實數(shù)x、y、z滿足2^x=3^y=6^z，則$\frac{x+y}{z}$的取值范圍是（4，+∞）．

Answer 1

分析 令2^x=3^y=6^z=k，則x=log₂k，y=log₃k，z=log₆k，根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)及換底公式的推論，結(jié)合基本不等式，可得$\frac{x+y}{z}$的取值范圍．

解答 解：令2^x=3^y=6^z=k，
則x=log₂k，y=log₃k，z=log₆k，
$\frac{x+y}{z}$=$\frac{{log}_{2}k+{log}_{3}k}{{log}_{6}k}$=（log₂k+log₃k）•log_k6=log₂6+log₃6=2+log₂3+log₃2＞2+2$\sqrt{{log}_{2}3•{log}_{3}2}$=4，
即$\frac{x+y}{z}$的取值范圍是（4，+∞），
故答案為：（4，+∞）

點評 本題考查的知識點是對數(shù)的運算性質(zhì)，換底公式的推論，基本不等式，是不等式與對數(shù)運算的綜合應(yīng)用，難度中檔．