Question

16．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，聯(lián)結(jié)這個(gè)正方形各邊的中點(diǎn)得到一個(gè)小正方形A₁B₁C₁D₁；又聯(lián)結(jié)這個(gè)小正方形各邊的中點(diǎn)得到一個(gè)更小的正方形A₂B₂C₂D₂；如此無(wú)限繼續(xù)下去，設(shè)各正方形的邊長(zhǎng)依大小順序構(gòu)成數(shù)列{a_n}．
（1）寫出a₂，a₃，a₄；
（2）猜想數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，請(qǐng)說(shuō)明理由；并求出所有正方形的周長(zhǎng)之和．

Answer 1

分析 （1）a₂=|A₁D₁|=$\sqrt{（\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，同理可得a₃=$\frac{1}{2}$，a₄=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
（2）猜想a_n=${2}^{\frac{1-n}{2}}$．證明如下：由于當(dāng)n≥2時(shí)，${a}_{n}=\frac{\sqrt{2}}{2}{a}_{n-1}$．利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．再利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出：所有正方形的周長(zhǎng)之和．

解答 解：（1）a₂=|A₁D₁|=$\sqrt{（\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$=${2}^{-\frac{1}{2}}$，a₃=$\sqrt{（\frac{\sqrt{2}}{4}）^{2}×2}$=$\frac{1}{2}$=2^-1，a₄=$\sqrt{（\frac{1}{4}）^{2}×2}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$=${2}^{-\frac{3}{2}}$．
（2）猜想a_n=${2}^{\frac{1-n}{2}}$．證明如下：
由于當(dāng)n≥2時(shí)，${a}_{n}=\frac{\sqrt{2}}{2}{a}_{n-1}$．
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為1，公比為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴a_n=$（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{n-1}$=${2}^{\frac{1-n}{2}}$．
所有正方形的周長(zhǎng)之和=$4×\frac{1-（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{n}}{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}$=（8+4$\sqrt{2}$）$[1-（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{n}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，考查了猜想歸納推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．