Question

（2012•威海二模）已知橢圓C：

x2

4

+

y2

3

=1，F(xiàn)為其右焦點(diǎn)，A為左頂點(diǎn)，l為右準(zhǔn)線，過F的直線l′與橢圓交于異于A點(diǎn)的P、Q兩點(diǎn)．
（1）求

AP

•

AQ

的取值范圍；
（2）若AP∩l=M，AQ∩l=N，求證：M、N兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則y_i=k（x_i-1）（i=1，2），由

x2 4 + y2 3 =1 y=k(x-1)

消去y得：（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，利用韋達(dá)定理將

AP

•

AQ

=（x₁+2，y₁）•（x₂+2，y₂）最終轉(zhuǎn)化為

AP

•

AQ

=

27k2

3+4k2

，通過換元即可求得

AP

•

AQ

的取值范圍；
（2）右準(zhǔn)線l的方程為x=4，由（1）可求得直線AP與AQ的方程，從而可得點(diǎn)M與點(diǎn)N的縱坐標(biāo)，點(diǎn)M與點(diǎn)N的縱坐標(biāo)之和為：

6y1

x1+2

+

6y2

x2+2

，通分化簡(jiǎn)可得其結(jié)果為-9，問題解決．

解答：解：（1）∵橢圓C：

x2

4

+

y2

3

=1，
∴其右焦點(diǎn)F（1，0），左頂點(diǎn)A（-2，0），
∴設(shè)直線l′斜率為k，則直線l′的方程為：y=k（x-1），
∴由

x2 4 + y2 3 =1 y=k(x-1)

消去y得：（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則y_i=k（x_i-1）（i=1，2），
∴x₁+x₂=

8k2

3+4k2

，x₁•x₂=

4k2-12

3+4k2

；
∴

AP

•

AQ

=（x₁+2，y₁）•（x₂+2，y₂）
=（x₁+2）•（x₂+2）+y₁•y₂
=（x₁+2）•（x₂+2）+k（x₁-1）•k（x₂-1）
=（1+k²）•x₁•x₂+（2-k²）（x₁+x₂）+4+k²
=（1+k²）•

4k2-12

3+4k2

+（2-k²）•（

8k2

3+4k2

）+4+k²
=

27k2

3+4k2

．
令μ=

27k2

3+4k2

，則（27-4μ）k²=3μ，
∴k²=

3μ

27-4μ

≥0，
∴0≤μ＜

27

4

．
（2）由（1）可得直線AP的方程為：y=

y1

x1+2

（x+2），AQ的方程為：y=

y2

x2+2

（x+2），
∵右準(zhǔn)線l的方程為：x=4，
∴直線AP與l的交點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為：

6y1

x1+2

，
同理可得直線AQ與l的交點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為：

6y2

x2+2

，
∴

6y1

x1+2

•

6y2

x2+2

=

36k2(x1-1)(x2-1)

x1x2 +2(x1+x2)  +4

=

36k2[x1x2-(x1+x2)+1]

x1x2 +2(x1+x2)  +4

=

36k2[ 4k2-12 3+4k2 - 8k2 3+4k2 +1]

4k2-12 3+4k2 + 16k2 3+4k2 + 12+16k2 3+4k2

=-9．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，難點(diǎn)在于直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化，著重考查方程思想與化歸思想，突出運(yùn)算能力的考查，屬于難題．